Задача 1(29). Случайные события. Вероятность события.
Номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000). Определить вероятность того, что номер делится на 20.
Задача 2(22). Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 2). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Задача 3(9). Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Среди шести винтовок пристреленными оказываются только две. Вероятность попадания из пристреленной винтовки равна 0,9, а из не пристреленной - 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристреленная винтовка.
Задача 4(17). Формула Бернулли.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет одно или два попадания.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.
Задача 5(3). Дискретная случайная величина.
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. p_i=0,4; 0,1; 0,1; 0,3; 0,1
Задача 6(8). Непрерывная случайная величина.
Случайная величина Х задана плотностью вероятности. Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Задача 7(9). Закон распределения функции случайного аргумента.
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=ф(X) и определить плотность вероятности g(y). ф(X)=x^5, a=-2, b=2.
Задача 8(18). Двухмерные случайные величины.
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунке области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B. Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Задача 9. Обработка одномерной выборки. Условие задачи
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия x^2 и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F_0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.
Задача 10. Обработка двухмерной выборки. Условие задачи
По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости a=0,05;
- вычислить оценки параметров a_0 и a_1 линии регрессии y=a_0+a_1x;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
