Задача 1(11). Случайные события. Вероятность события.
Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Вычислить вероятность того, что номер не содержит цифры пять.
Задача 2(25). Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 2). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Задача 3(18). Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали два блока.
Задача 4(11). Формула Бернулли.
Монету подбрасывают восемь раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений герба?
Задача 5(20). Дискретная случайная величина.
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. p_i=0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 0,6
Задача 6(23). Непрерывная случайная величина.
Случайная величина Х задана плотностью вероятности. Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Задача 7(29). Закон распределения функции случайного аргумента.
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=ф(X) и определить плотность вероятности g(y). ф(X)=ln x, a=1, b=2.
Задача 8(26). Двухмерные случайные величины.
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунке области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B. Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Задача 9. Обработка одномерной выборки. Условие задачи
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия x^2 и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F_0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.
Задача 10. Обработка двухмерной выборки. Условие задачи
По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости a=0,05;
- вычислить оценки параметров a_0 и a_1 линии регрессии y=a_0+a_1x;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
